Cập nhật thông tin chi tiết về Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Biểu Thức mới nhất trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) qua một số bài tập minh họa cụ thể.° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
– Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A 2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).
⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1
– Kết luận: A min = -4 khi và chỉ khi x = -1.
⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3
– Kết luận: A max = 4 khi và chỉ khi x = 3.
– Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x 2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.
– Vì (x + 1) 2 ≥ 0 nên (x + 1) 2 + 4 ≥ 4
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
– Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
– Dấu “=” xảy ra khi A = 0.
° Lời giải:
– Điều kiện: x≥0
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
– Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
Vậy A max = 5 ⇔ x = 1
Vậy A min = -3 ⇔ x = 9
– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).
– Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.
– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.
Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt.
Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Một Biểu Thức
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức lớp 8
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1. Khái niệm
– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
2. Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I. Dạng 1: Tam thức bậc hai
Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.
Tổng quát:
Ví dụ 1:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của
b, Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải:
a,
min A = -7 khi và chỉ khi x = 2
b,
max
Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai
b, Tìm max P nếu a < 0
Lời giải:
Ta có
Đặt
b, Nếu a < 0 thì
a,
b,
c,
d,
e,
f,
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:
Cách 1: Dựa vào tính chất
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a.
b.
Lời giải:
a,
Đặt
min A = 1
b,
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
Ta có
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
Ta có (1)
Và (2)
Vậy
Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi
Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi
Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi
III. Dạng 3: Đa thức bậc cao
Dạng phân thức
Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Các phân thức có dạng khác
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a.
b.
c.
Lời giải:
a,
Đặt
Min
b,
c,
Ta có
thì
Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3
Bài tập vận dụng Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,
b,
c,
d,
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
………………………………
Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
, Tra cứu, xem điểm thi vào lớp 10, tốt nghiệp THPT, Đại học – Cao đẳng at Công ty Cổ phần Liên kết giáo dục Việt Nam
Published on
1. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D ¡ . Ta có max x D M f x 0 0: f x M x D x D f x M ; min x D m f x 0 0: f x m x D x D f x m . 2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn ;a b , ta làm như sau: B1 Tìm các điểm 1x , 2x , …, mx thuộc khoảng ;a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. B2 Tính 1f x , 2f x , …, mf x , f a , f b . B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn ;a b . 1 2 ; max max , , , , ,m x a b f x f x f x f x f a f b K . 1 2 ; min min , , , , ,m x a b f x f x f x f x f a f b K . Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x trên đoạn 0;2 .
2. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 2 Giải. Ta có 2 2 2 2 4 3 1 2 3 3 2 4 ‘ 0 1 1 x x x x x x y x x 0;2x . Lại có 0 3y , 17 2 3 y . Suy ra 0;2 min 3 x y , 0;2 17 max 3x y . Nhận xét. f đồng biến trên ;a b ; ; min max x a b x a b f x f a f x f b ; f nghịch biến trên ;a b ; ; min max x a b x a b f x f b f x f a . Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 4y x x . Giải. 2;2TXÑ . Ta có 2 2 2 4 ‘ 1 4 4 x x x y x x ( 2;2x ). Với mọi 2;2x , ta có ‘ 0y 2 4 0x x 2 4 x x 2 2 0 4 x x x 2x . Vậy min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y , đạt được 2x ; max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y , đạt được 2 . Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 1 x y x trên đoạn 1;2 . Giải. Ta có 2 2 2 2 2 1 1 11’ 1 1 1 x x x xxy x x x .
3. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 3 Với mọi 1;2x ta có ‘ 0y 1x . Vậy 3 5 min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0 5 y y y y , đạt được 1x ; 3 5 max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2 5 y y y y , đạt được 1x . Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln x y x trên đoạn 3 1;e . Giải. Ta có 2 2 2 2 ln 2 . ln 2ln ln ‘ x x x x xx y x x . Với mọi 3 1;x e ta có ‘ 0y 2 2ln ln 0x x ln 0x hoặc ln 2x 1x hoặc 2 x e 2 x e ( 3 1 1;e ). Vậy 3 2 3 2 9 4 min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e e e , đạt được 1x . 3 3 2 2 9 4 4 max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e e e e , đạt được 2 x e . Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2 4 21 3 10y x x x x . Giải. TXÑx 2 2 4 21 0 3 10 0 x x x x 3 7 2 5 x x 2 5x , suy ra 2;5TXÑ= . Ta có 2 2 2 2 3 ‘ 4 21 2 3 10 x x y x x x x .
4. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 4 ‘ 0y 2 2 2 2 3 4 21 2 3 10 x x x x x x 2 2 2 2 4 4 4 12 9 4 21 4 3 10 x x x x x x x x 2 2 2 2 4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x 2 51 104 29 0x x 1 3 x hoặc 29 17 x . Thử lại, ta thấy chỉ có 1 3 x là nghiệm của ‘y . 2 3y , 5 4y , 1 2 3 y min 2y , đạt được 1 3 x . C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) 2 4y x . 2) 2 2 5y x x trên đoạn 2;3 . 3) 2 2 4y x x trên đoạn 2;4 . 4) 3 3 3y x x trên đoạn 3 3; 2 . 5) 3 21 2 3 4 3 y x x x trên đoạn 4;0 . 6) 3 2 3 9 1y x x x trên đoạn 4;4 . 7) 3 5 4y x x trên đoạn 3;1 . 8) 4 2 8 16y x x trên đoạn 1;3 . 9) 1 y x x trên khoảng 0; . 10) 1 1 y x x trên khoảng 1; . 11) 1 y x x trên nửa khoảng 0;2 . 12) 2 x y x trên nửa khoảng 2;4 . 13) 2 2 5 4 2 x x y x trên đoạn 0;1 . 14) 4 4 sin cosy x x . 15) 2 2sin 2sin 1y x x .
5. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 5 16) 2 cos 2 sin cos 4y x x x . 17) 3 2 cos 6cos 9cos 5y x x x . 18) 3 sin cos2 sin 2y x x x . 19) 3 sin3 3siny x x 20) 2 2cos cos 1 cos 1 x y
6. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 6 §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: Xác định ẩn phụ t . Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho x , 0y thỏa mãn 4x y . Tìm GTLN, GTNN của 3 3 1 1S x y . Giải. Đặt t xy , suy ra 2 0 4 4 x y t . Ta có S 3 2 3 1xy x y x y xy 3 2 4 4 3 1t t 3 12 63t t . Xét hàm 3 12 63f t t t , với 0;4t . Ta có 2 ‘ 3 12 0f t t 0;4t f t đồng biến trên 0;4 . Do đó 0;4 min min 0 63 t S f t f , đạt được khi và chỉ khi 4 0 x y xy ; 4;0x y hoặc ; 0;4x y . 0;4 max max 4 49 t S f t f , đạt được khi và chỉ khi 4 4 x y xy ; 2;2x y . Ví dụ 2. Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 2x y . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy . Giải. Đặt t x y 0t . Ta có 22 2 2 2 4t x y x y 2t , 22 2 2 2 2 2 2t x y x y xy x y 2t . Suy ra 2;2t . Lại có 2 2 2 21 1 2 2 x y x y xy t 21 1 2 S f t t t .
7. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 7 Ta có ’ 1 0f t t với mọi 2;2t , 2 1f , 3 1 2 f . Do đó min 2 1S f , đạt được 2 2 2 2 x y x y 1 1 x y . 3 max 1 2 S f , đạt được 2 2 1 2 x y x y 1 3 2 1 3 2 x y hoặc 1 3 2 1 3 2 x y . Ví dụ 3. Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 8x y . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x . Giải. Đặt t x y , ta có 2 2 2 2 2 8 16x y x y 4t , 2 2 2 2 2 2 8x y x y xy x y 2 2t . Suy ra 2 2 4t . Lại có 2 2 2 2 8 2 2 x y x y t x y . Ta có biến đổi sau đây S 1 1 1 1 x x y y y x 2 2 1 x y x y xy x y xy 2 2 2 8 8 1 2 t t t t t 2 8 2 2 6 t t t . Xét hàm 2 8 2 6 t f t t t với 2 2 4t . Ta có 2 2 2 22 2 2 6 8 2 2 16 22 ‘ 0 2 6 2 6 t t t t t t f t t t t t , : 2 2 4t t . Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4 . Do đó 2 2;4 2 min 4 3t f t f . max 2 2 2f t f . +) 2 2;4 4 2 min 3t S f t , dấu bằng xảy ra 2 2 8 4 x y x y 2x y . Vậy 4 min 3 S , đạt được 2x y .
8. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 8 +) 2 2;4 2 max 4 2 t S f t , dấu bằng xảy ra 2 2 8 2 2 x y x y 0 2 2 x y hoặc 2 2 0 x y . Vậy 4 max 3 S , đạt được 0 2 2 x y hoặc 2 2 0 x y . Ví dụ 4. Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 1 1 1 3 x y S y x x y . Giải. Đặt t x y 2 3 0 3 4 xy t t t 3 2 3 xy t t . Ta có S 3 3 2 2 1 1 1 3 x y x y x y x y 3 2 3 2 1 1 3 x y xy x y x y xy xy x y x y 3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 t t t t t t t t 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t t t . Xét hàm 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t f t t t , 2;3t . Ta có 2 2 3 7 1 ‘ 2 0 4 4 3 t f t t t , 2;3t 1f đồng biến trên 2;3 . Do đó 4 2 5 S f t f . Dấu “” xảy ra 3 2 x y xy x y 1x y 4 min 5 S , Đạt được 1x y . 35 3 6 S f t f . Dấu “” xảy ra 3 3 x y xy x y 0 3 x y hoặc 3 0 x y .
9. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 9 35 max 6 S , Đạt được 0 3 x y hoặc 3 0 x y . Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x xy y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 S x xy y . Giải. Cách 1. Từ giả thiết suy ra 2 2 2 2 3 1 4 4 x y x y x y xy x y . Do đó, nếu đặt t x y thì 23 1 4 t , hay 2 3 2 3 ; 3 3 t . Ta có 2 2 1 1xy x y t , suy ra 2 2 2 2 3 3 1 2 3S x y xy t t t . Xét hàm 2 2 3f t t với 2 3 2 3 ; 3 3 t . Ta có ’ 4f t t , ’f t có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 0 ; 3 3 t . Ta có 0 3f , 2 3 2 3 1 3 3 3 f f . Do đó 1 min 3 S , đạt được chẳng hạn khi 2 2 2 3 3 1 x y x xy y 2 2 3 3 1 x y x y xy 2 3 3 1 3 x y xy 1 1 ; ; 3 3 x y . max 3S , đạt được khi và chỉ khi 2 2 0 1 x y x xy y 2 0 1 x y x y xy 0 1 x y xy ; 1; 1x y hoặc ; 1;1x y .
10. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 10 Cách 2. Ta có 2 2 2 2 x xy y S x xy y . Xét 0y . Khi đó 1S . Xét 0y . Chia cả tử và mẫu của S cho 2 y và đặt x t y , ta được 2 2 2 1 2 1 1 1 t t t S t t t t . Xét hàm 2 2 1 1 t f t t t , ta có 2 22 2 1 ‘ 1 t f t t t . Bảng biến thiên của hàm f t : 2 2 lim lim 1 1 1 1 1 t t tf t t t . Suy ra: +) 1 min 3 S , đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y 1 1 ; ; 3 3 x y hoặc 1 1 ; ; 3 3 x y . +) max 3S . Đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y ; 1; 1x y hoặc ; 1;1x y . Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn 3 4 2x y xy . Tìm GTNN của 4 4 2 2 2 2 3 2 1A x y x y x y . Giải. Áp dụng bất đẳng thức 22 2 3 4 a b ab a b với 2 a x , 2 b y ta được 1 1 f t( ) f ‘ t( ) ++ _ 00 1 3 3 +∞1-1-∞t
11. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 11 24 4 2 2 2 23 4 x y x y x y 22 2 2 29 2 1 4 A x y x y . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 2 4xy x y , ta có 3 2 2x y x y 2 1 2 2 0x y x y x y 1x y (do 2 2 2 2 1 1 0x y x y x y x , y ). Đặt 2 2 t x y 2 2 1 2 2 9 2 1 4 x y t A f t t t . Xét hàm 29 2 1 4 f t t t , 1 2 t . Ta có 9 ‘ 2 0 2 f t t 1 2 t f t đồng biến trên 1 ; 2 1 9 2 16 f t f 1 2 t . Như vậy 9 16 S , dấu “” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 1 2 x y x y 1 1 ; ; 2 2 x y hoặc 1 1 ; ; 2 2 x y . Vậy 9 min 16 S , đạt được 1 1 ; ; 2 2 x y hoặc 1 1 ; ; 2 2 x y . Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện 0x y z và 2 2 2 1x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5 P x y z . Giải. Từ 0x y z suy ra z x y , thay z x y vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được 2 2 2 2 22 2 1 3 1 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y x y x y Do đó, nếu đặt t x y thì ta có 23 1 2 t 6 6 ; 3 3 t , 2 2 1 2 t xy . Biến đổi P 55 5 x y x y 53 3 2 2 2 2 x y x y x y x y x y 3 2 52 2 3 2x y xy x y x y xy x y x y x y
12. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 12 22 2 2 3 2 52 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2 t t t t t t t t 35 2 4 t t . Xét hàm 35 2 4 f t t t , với 6 6 ; 3 3 t . Ta có 25 ‘ 6 1 4 f t t có hai nghiệm là 6 6 6 ; 6 3 3 t . Ta có 6 5 6 3 36 f , 6 5 6 6 36 f , 6 5 6 6 36 f , 6 5 6 3 36 f . Vậy 5 6 min 36 P , đạt được chẳng hạn khi 6 6 x y , 6 3 z . Ví dụ 8. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S x y z x y y z z x . Giải. Đặt 3t xyz . Ta có 0t và 3 3 3 2 x y z xyz 1 2 t . Suy ra 1 0; 2 t . Lại có 2 2 2 2 2 2 23 3 3x y z x y z t , 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 x y y z z x x y y z z x xyz t 2 3 1 3S t t . Xét hàm 2 3 1 f t t t với 1 0; 2 t . Ta có 5 4 4 3 2 3 ‘ 2 0 t f t t t t 1 0; 2 t , suy ra f nghịch biến trên 1 0; 2 . Vậy 1 99 min 3 2 4 S f , đạt được khi và chỉ khi
13. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 13 3 1 2 x y z xyz 1 2 x y z . Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x , y , 0z thỏa mãn 1x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z . 1 Giải. Xét 1 ;a x x r , 1 ;b y y r , 1 ;c z z r , ta có 1 1 1 ;a b c x y z x y z r r r . Từ a b c a b c r r r r r r suy ra 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 33x y z xyz , 3 1 1 1 1 3 x y z xyz . Do đó 9 1 9VT t t , với 2 3t xyz . Ta có 2 1 0 3 9 x y z t . Xét 9 9f t t t với 1 0; 9 t . Ta có 2 9 ‘ 9 0f t t 1 0; 9 t f t nghịch biến trên 1 0; 9 . 1 82 9 f t f 1 ( ) 82VT f t (ĐPCM).
14. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 14 Cách 2. 2 2 1 1 1 x y z x y z 2 2 21 1 1 81 80x y z x y z x y z 2 2 21 1 1 2 81 80x y z x y z x y z 21 1 1 18 80x y z x y z x y z 18.9 -80 82 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. C. Bài tập Bài 1. [ĐHD09] Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 4 3 4 3 25S x y y x xy . Bài 2. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x . Bài 3. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 2 2 1 1 1S x y x y . Bài 4. Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 6 2 2 1 x y S x y x y . Bài 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 4 4 2 2 S x y x y . Bài 6. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1 1S x y . Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn 2 2 4 4 2 32x y xy . Tìm GTNN của 3 3 3 1 2A x y xy x y . Bài 8. [ĐHA06] Cho 0x , 0y thỏa mãn 2 2 x y xy x y xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A x y . Bài 9. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y . Bài 10. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
15. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 15 2 2 2S x xy y . Bài 11. Cho x , y thỏa mãn 2 2 2 1x y xy . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 S x y . Bài 12. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 S x y z x y z . Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , 0c thỏa mãn 1a b c . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b a . Bài 14. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 5 5 5 2 2 2 x y x x y z P y z z x x y y z x .
Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số ( gtln, gtnn) là gì? Bài viết sau đây sẽ đưa ra định nghĩa về gtln, gtnn của hàm số và những lưu ý trước khi làm dạng toán này.
ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Mặc dù giá trị hàm số y=1/x luôn dương trên (0;+∞) nhưng nó lại không có giá trị nhỏ nhất trên (0;+∞). Hàm số nêu trên chỉ có giá trị cận dưới là 0 trên (0;+∞) mà thôi.
PHÂN CHIA BÀI TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài tập gtln, gtnn xuất hiện trong chương trình cả ba khối THPT. Ở lớp 10 bài tập gtln, gtnn có trong phần hàm số bậc 2. Lớp 11 thì xuất hiện ở phần gtln, gtnn của hàm số lượng giác. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lop 12 thì nhiều ở trong chương 1: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Tất nhiên cách giải của lớp 12 là dùng đạo hàm sẽ áp dụng được cho cả lớp 10 và lớp 11. Chúng ta tạm phân chia như vậy để “hình dung” ra được lượng kiến thức của dạng bài tập tìm gtln, gtnn của hàm số.
Bài 1: (Lớp 10) Tìm gtln của hàm số y=−2x²+3x+2.
Bài 2: (Lớp 11) Tìm gtln, gtnn của hàm số y=2sin(2x+2)-3.
Bài 3: (Lớp 12) Tìm gtln,gtnn của hàm số y=lnx+2x-3 trên [1;5].
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12 như thế nào? Ở lớp 12 chúng ta chủ yếu tìm gtln, gtnn của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm. Trong một số trường hợp ta kết hợp sử dụng thêm bất đẳng thức và máy tính bỏ túi để tăng tốc độ giải quyết bài toán trắc nghiệm.
Như vậy chúng ta cần hiểu rằng gtln, gtnn của hàm số trên đoạn (khoảng) là phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Tức là có những hàm số không có gtln hay gtnn mặc dù nó có cận trên và cận dưới trên đoạn (khoảng) đang xét.
Ví dụ:
Mặc dù giá trị hàm số y=1/x luôn dương trên (0;+∞) nhưng nó lại không có giá trị nhỏ nhất trên (0;+∞). Hàm số nêu trên chỉ có giá trị cận dưới là 0 trên (0;+∞) mà thôi.
CÁCH TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐẠO HÀM
tTìm gtln, gtnn của hàm số trên đoạn với tìm gtln gtnn của hàm số trên khoảng hoàn toàn tương tự nhau. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b) hay đoạn [a;b] ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm các nghiệm của đạo hàm hoặc những điểm tại đó đạo hàm không xác định.
Bước 2: Lập bảng biến thiên. ( Trên đoạn có thể không cần lập bảng biến thiên). Lưu ý điểm nay
Bước 3: Từ bảng biến thiên so sánh các giá trị của hàm số và đưa ra kết luận.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [-3;4].
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Lời giải:
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng Casio thường được sử dụng trong thi trắc nghiệm toán. Phương pháp này tỏ ra khá hữu hiệu trong các bài toán đơn giản như không có tham số, khoảng đoạn được xét ngắn. Để sử dụng chúng ta khai thác chức năng TABLE của máy tính bỏ túi.
Ví dụ:
Gọi M,m lần lượt là gtln,gtnn của hàm số . Tính tích Mm.
Lời giải:
Mở chức năng TABLE trong máy tính (chế độ 1 hàm số, đơn vị góc Radian). Nhập vào hàm số .
Ở cột F(X) ta dò được giá trị gần với GTNN là −2.982 (Giá trị này càng chính xác nếu STEP càng nhỏ).
Tương tự ta cũng dò được giá trị gần với GTLN là 0.114.
Từ đó so sánh ta chọn được đáp án C.
Bạn đang xem bài viết Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Biểu Thức trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!