Cập nhật thông tin chi tiết về Định Luật Số Lớn Và Định Lý Giới Hạn Trung Tâm mới nhất trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Thu thập mẫu và phân tích chúng là những khía cạnh cơ bản của Thống kê [Ảnh: Pop & Zebra trên Unsplash]
Trong Thống kê, hai khái niệm quan trọng nhưng khó hiểu nhất là Định luật số lớn ( LLN ) và Định lý giới hạn trung tâm ( CLT ). Những điều này tạo thành cơ sở của khung kiểm tra giả thuyết phổ biến. Các quyết định quan trọng trong bất kỳ công ty dựa trên internet nào (ví dụ: thương mại điện tử, giao hàng thực phẩm, OTT, v.v.) thường được hỗ trợ bởi một thử nghiệm A / B bao gồm thử nghiệm giả thuyết.
Trong thế giới thực tế, không thể loại bỏ toàn bộ dân số. Do đó, chúng tôi sử dụng cách lấy mẫu từ dân số và phân tích nó. Chúng tôi cố gắng đưa ra kết luận về dân số dựa trên mẫu.
Theo wikipedia, Luật số lớn cũng như định lý giới hạn trung tâm là giải pháp từng phần cho một vấn đề tổng quát: “Hành vi giới hạn của trung bình mẫu ( S_ n ) khi kích thước mẫu ( n ) tiến tới vô cùng là gì?”
Chúng tôi đặt ra vấn đề bằng cách xác định Phân bố dân cư, Phân bố lấy mẫu và lấy một số thống kê về mẫu:
Phân bố dân cư:
Chúng tôi bắt đầu với một dân số lý thuyết. Nó có thể có bất kỳ hình dạng nào. Nó có thể rời rạc (giả sử Bernoulli, Poisson, v.v.) hoặc liên tục (giả sử hàm mũ, đồng nhất, v.v.) Đặt giá trị trung bình và phương sai của phân phối này là µ và σ² .
Phân phối lấy mẫu:
Bây giờ chúng tôi chọn n mẫu từ tổng thể này một cách độc lập (theo cách nói thống kê – chúng tôi chọn n mẫu) và tính trung bình chúng. Hãy gọi biến ngẫu nhiên này Y . Đây là một biến ngẫu nhiên bởi vì chúng tôi có thể có nhiều mẫu như vậy hoặc nhiều trường hợp Y . Chúng ta có thể lặp lại quy trình này vô số lần. Phân phối của Y được gọi là Phân phối lấy mẫu. Sau đó –
Xác định mẫu một cách chính thức bằng cách sử dụng các biến ngẫu nhiên
Chúng ta hãy thử tìm hai đặc điểm quan trọng của biến ngẫu nhiên này là Kỳ vọng và Phương sai.
Từ tuyến tính của kỳ vọng, chúng tôi nhận được –
Công thức kỳ vọng vẫn đúng ngay cả khi ông Tập không độc lập. Tuy nhiên, công thức phương sai chỉ đúng khi Xi là độc lập.
Công thức phương sai của Y có thể được suy ra bằng quy tắc Tuyến tính của Kỳ vọng. Công thức được gọi là công thức Bienaymé .
Do đó, chúng tôi biết về giá trị kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên mới của chúng tôi. Nhưng chúng ta chưa biết gì về hình dạng. Đây là nơi CLT bắt đầu.
Định lý giới hạn trung tâm phát biểu rằng:
Nguồn – Wikipedia; CLT có thể được tóm tắt bằng một bức tranh này.
Ba trường hợp phát sinh tùy thuộc vào sự phân bố dân số và cỡ mẫu: –
Trường hợp – 1.) Nếu phân bố dân số là Bình thường – Ngay cả cỡ mẫu là 2 cũng sẽ dẫn đến Phân bố Lấy mẫu Bình thường . Tổng của bất kỳ số lượng biến ngẫu nhiên N (0,1) nào được phân phối chuẩn xác. Điều này có thể được chứng minh bằng nhiều cách và một trong số đó là sử dụng tích chập .
Trường hợp – 3.) Nếu phân bố dân số không Chuẩn và cỡ mẫu nhỏ hơn 30 , thì phân phối kết quả có thể được mô hình hóa tốt hơn bằng phân phối t của Student thay vì phân phối chuẩn.
Luật Số lớn phát biểu rằng:
Ví dụ về trung bình mẫu ( Y ) có kích thước n có xu hướng ngày càng gần với trung bình tổng thể µ như n → ∞.
Vì chúng ta luôn biết hình dạng từ CLT và các công thức cho giá trị trung bình và phương sai của ‘ Y’ từ Tuyến tính của Kỳ vọng, LLN trở nên dư thừa. Dễ dàng chúng ta có thể thấy rằng bất kỳ trường hợp nào của ‘ Y’ đều nằm trong đường cong hình chuông và khi chúng ta tăng ‘ n’ , đường cong ngày càng mỏng hơn. Do đó, khi ‘n’ → ∞, bất kỳ Y nào sẽ xấp xỉ bằng µ.
Kết luận :
LLN và CLT đều cố gắng cho chúng ta biết gần đúng hành vi của trung bình mẫu. CLT cho chúng ta hình dạng gần đúng của phân phối. Độ tuyến tính của kỳ vọng cho chúng ta Giá trị trung bình kỳ vọng / Phương sai của phân phối lấy mẫu. LLN chỉ nói về giá trị gần đúng của trung bình mẫu, tất nhiên giá trị nào càng ngày càng gần với trung bình tổng thể khi ‘ n’ trở nên lớn.
Tài liệu tham khảo –
Luật Số Lượng Lớn Và Định Lý Giới Hạn. Luật Số Lượng Lớn
Nếu hiện tượng bền vững Ở giữa Thực sự có trong thực tế, sau đó trong mô hình toán học, mà chúng ta nghiên cứu những hiện tượng ngẫu nhiên, nên tồn tại phản ánh định lý thực tế này. Trong các điều kiện của định lý này, chúng tôi giới thiệu các hạn chế đối với các biến ngẫu nhiên 1 , X. 2 , …, X n.:
a) Mỗi u200bu200bgiá trị ngẫu nhiên X I. Có kỳ vọng toán học
b) Sự phân tán của từng biến ngẫu nhiên là hữu hạn hoặc, chúng ta có thể nói rằng sự phân tán được giới hạn từ trên cùng một số, ví dụ: TỪ, I E.
Sau đó, rõ ràng
Chúng tôi xây dựng luật số lượng lớn dưới dạng Ch Quashev.
Định lý Ch Quashev: với sự gia tăng không giới hạn về số lượng n. Thử nghiệm độc lập ” các giá trị quan sát số học trung bình của phương sai ngẫu nhiên hội tụ trong xác suất đối với kỳ vọng toán học của nó.“, I.E. cho bất kỳ tích cực nào ε
Ý nghĩa của biểu thức Số học trung bình u003d hội tụ trong xác suất một “ Đó có phải là khả năng sẽ khác nhau cũ kể từ khi A., không giới hạn tiếp cận 1 với sự gia tăng số lượng n..
Chứng cớ. Đối với một số hữu hạn n. Các bài kiểm tra độc lập áp dụng bất bình đẳng Ch Quashev cho biến ngẫu nhiên = :
Đưa ra những hạn chế A – B, tính toán M.() TÔI. D.():
D.() = = = = = = .
Thay thế M.() TÔI. D.() trong bất đẳng thức (4.1.2), chúng tôi nhận được
Nếu bất đẳng thức (4.1.2) hãy chỉ một cách tùy tiện ε u003e 0i. n. ®, sau đó nhận được
= 1,
trong đó chứng minh định lý của Ch Quashev.
Trường hợp tư nhân. Hãy để n. Xét nghiệm được quan sát n. Biến ngẫu nhiên X. có kỳ vọng toán học M.( X.) và phân tán. D.( X.). Các giá trị thu được có thể được xem dưới dạng các biến ngẫu nhiên. Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , … , X n.,. Điều này nên được hiểu là: một loạt p. Các thử nghiệm được thực hiện nhiều lần, do đó kết quả là tÔI.– kiểm tra, tÔI.u003d L, 2, 3, …, p., Trong mỗi loạt các bài kiểm tra, giá trị này hoặc giá trị của một biến ngẫu nhiên sẽ xuất hiện. X.không được biết trước. Vì thế, tÔI.-E giá trị x I. Biến ngẫu nhiên thu được trong tÔI.– Kiểm tra, thay đổi ngẫu nhiên, nếu bạn di chuyển từ một chuỗi thử nghiệm này sang loạt bài kiểm tra khác. Vì vậy, mỗi giá trị x I.có thể được coi là một biến ngẫu nhiên X i.
Giả sử rằng các thử nghiệm đáp ứng các yêu cầu sau:
1. Các bài kiểm tra là độc lập. Điều này có nghĩa là kết quả Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , …, X n. Các thử nghiệm là các biến ngẫu nhiên độc lập.
2. Các thử nghiệm được thực hiện trong cùng điều kiện – điều này có nghĩa là từ quan điểm về lý thuyết xác suất, đó là từ các biến ngẫu nhiên Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , … , X n. có luật phân phối tương tự như giá trị ban đầu X., vì thế M.( X I.) u003d M.( X.) và D.( X I.) = D.( X.), tÔI. = 1, 2, …. p.
Xem xét các điều kiện trên, chúng tôi nhận được
Ví dụ 4.1.1. X. bằng 4. Có bao nhiêu thí nghiệm độc lập được yêu cầu để có xác suất ít nhất 0,9, có thể hy vọng rằng giá trị số học của biến ngẫu nhiên này sẽ khác với kỳ vọng toán học dưới 0,5?
Từ mối quan hệ
1 – = 0,9
mục đích
Câu trả lời: Cần tạo 160 thí nghiệm độc lập.
Nếu chúng ta giả sử rằng số học trung bình nó được phân phối bình thường, sau đó chúng tôi nhận được:
Từ đâu, sử dụng bảng của hàm laplace, chúng ta nhận được 1.645, hoặc ≥ 6,58, I.E. N. ≥49.
Ví dụ4.1.2. Phân tán biến ngẫu nhiên Hòx bằng d ( Hòx) u003d 5. 100 thí nghiệm độc lập đã được sản xuất theo tính toán . Thay vì một giá trị không xác định của kỳ vọng toán học nhưngcon nuôi . Xác định giá trị lỗi tối đa được phép với xác suất ít nhất 0,8.
Từ mối quan hệ
mục đích ε :
ε 2 = = = 0,25.
Vì thế, ε = 0,5.
Câu trả lời: Giá trị tối đa của lỗi ε = 0,5.
4.2. Luật số lượng lớn ở dạng Bernoulli
Định lý Bernoulli. Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các bài kiểm tra độc lập p. Tần suất sự kiện tương đối NHƯNGhội tụ như xác suất p. Sự kiện xuất hiện NHƯNG, t. e.
Ở đâu ε – Thỉnh thoảng một số lượng nhỏ tích cực.
Cho hữu hạn n.cung cấp điều đó , Sự bất bình đẳng chebyshev cho một biến ngẫu nhiên sẽ xem xét:
Chứng cớ. Áp dụng định lý của Ch Quashev. Để cho được X I. – Số lượng sự kiện NHƯNG trong tÔI.kiểm tra, tÔI.= 1, 2, . . . , n. . Mỗi giá trị X I. chỉ có thể lấy hai giá trị:
X I.u003d 1 (sự kiện NHƯNG đến) với xác suất p.,
Để cho được Y n.u003d. Tổng X. 1 + X. 2 + … + X n. bằng số m.sự kiện xuất hiện NHƯNG trong n.kiểm tra (0. m. n.), và do đó Y n.u003d – Tần suất tương đối của các sự kiện NHƯNG trong n.kiểm tra. Chờ toán và phân tán X I. bằng nhau, tương ứng:
Lý thuyết về xác suất được nghiên cứu các mẫu vốn có trong các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt. Giống như bất kỳ khoa học nào khác, lý thuyết xác nhận có thể có thể dự đoán chính xác hơn kết quả của một hiện tượng hoặc thí nghiệm. Nếu hiện tượng thuộc về một ký tự, lý thuyết xác suất có khả năng dự đoán chỉ có khả năng kết quả trong các giới hạn rất rộng. Các mẫu được biểu hiện chỉ với một số lượng lớn các hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong các điều kiện đồng nhất.
Có hai loại định lý giới hạn: Luật số lượng lớn và định lý giới hạn trung tâm.
Luật số lượng lớn Nơi quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất là một mối liên hệ giữa lý thuyết xác suất là khoa học toán học và luật pháp của các hiện tượng ngẫu nhiên với các quan sát hàng loạt so với họ.
1. nhưng) Định lý Bernoulli là luật số lượng lớn (nó đã được xây dựng và đã được chứng minh trước đó trong đoạn 3 của § 6 khi xem xét định lý tích hợp giới hạn của Moreav-Laplace.)
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thí nghiệm độc lập đồng nhất, tần số sự kiện sẽ khác nhau nhiều so với khả năng của một sự kiện trong một trải nghiệm riêng biệt. Nếu không, khả năng độ lệch của tần số tương đối của các sự kiện NHƯNG Từ xác suất liên tục Ở r sự kiện NHƯNG Rất ít khi phấn đấu cho 1 tại bất kỳ: .
b) Định lý Ch Quashev.
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các thử nghiệm độc lập, trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên có sự phân tán cuối cùng hội tụ về khả năng đối với toán học khác, nếu các biến ngẫu nhiên được phân phối bằng nhau với kỳ vọng toán học và phân tán hạn chế, Sau đó, tại bất kỳ cụ thể: .
Định lý Ch Quashev (Tổng quát).Nếu các biến ngẫu nhiên trong chuỗi là độc lập theo cặp và phân tán của chúng đáp ứng điều kiện Đối với bất kỳ dương εu003e 0, sự chấp thuận là đúng:
hoặc cái đó giống nhau .
c) Định lý Markov. (Luật số lượng lớn trong công thức chung)
Nếu sự phân tán các biến ngẫu nhiên tùy ý trong trình tự thỏa mãn điều kiện: , đối với bất kỳ dương tính nào là εu003e 0, tuyên bố về định lý Ch Quashev: .
d) Định lý Poisson.
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thí nghiệm độc lập trong các biến, tần số sự kiện NHƯNG hội tụ trong xác suất đến xác suất số học trung bình trong các thử nghiệm này.
Vào đầu khóa học, chúng tôi đã nói về thực tế là luật toán học của lý thuyết xác suất thu được bằng cách trừu tượng hóa các mẫu thống kê thực sự vốn có trong các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt. Sự hiện diện của các mô hình này là do sự lưu vực của hiện tượng, đó là, với một số lượng lớn các thí nghiệm đồng nhất được thực hiện hoặc với một số lượng lớn ảnh hưởng ngẫu nhiên gấp, tạo ra một lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào một luật hoàn toàn nhất định. Tính chất của sự bền vững của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt được biết đến với nhân loại kể từ thời cổ đại sâu sắc. Trong bất kỳ khu vực nào được biểu hiện, nó được giảm xuống như sau: Các tính năng cụ thể của từng hiện tượng ngẫu nhiên riêng lẻ gần như không ảnh hưởng đến kết quả trung bình của khối lượng và các hiện tượng đó; Độ lệch ngẫu nhiên từ trung bình, không thể tránh khỏi trong từng hiện tượng riêng lẻ, trong khối lượng bị từ chối lẫn nhau, được san bằng, phù hợp. Đó là tính bền vững của mức trung bình và đại diện cho hàm lượng vật lý của “luật số lớn”, được hiểu theo nghĩa rộng của từ: với một số lượng rất lớn các hiện tượng ngẫu nhiên, kết quả của chúng thực sự không còn ngẫu nhiên và có thể được dự đoán với một mức độ lớn của sự chắc chắn.
Theo nghĩa hẹp của từ theo “luật số lượng lớn” trong lý thuyết xác suất, một số định lý toán học được hiểu, trong mỗi điều kiện nhất định, thực tế là xấp xỉ các đặc điểm trung bình của một số lượng lớn thí nghiệm đến một số hằng số cụ thể được thiết lập.
Trong 2.3, chúng tôi đã xây dựng đơn giản nhất trong số các định lý này – Định lý Ya. Bernoulli. Cô tuyên bố rằng với một số lượng lớn các thí nghiệm, tần suất sự kiện đang đến gần (chính xác hơn – hội tụ có khả năng) với khả năng của sự kiện này. Với các hình thức khác, phổ biến hơn của luật số lượng lớn, chúng ta sẽ làm quen trong chương này. Tất cả trong số họ thiết lập thực tế và điều kiện hội tụ về khả năng của một số biến ngẫu nhiên nhất định liên tục, không phải giá trị ngẫu nhiên.
Luật số lượng lớn đóng một vai trò quan trọng trong các ứng dụng thực tế của lý thuyết xác suất. Tính chất của các biến ngẫu nhiên trong một số điều kiện nhất định để hành xử gần như không có tình cờ cho phép bạn tự tin vận hành với các giá trị này, dự đoán kết quả của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt với sự chắc chắn gần như hoàn toàn.
Các hình thức khác nhau của luật số lượng lớn cùng với các hình thức khác nhau của định lý giới hạn trung tâm tạo thành một tập hợp các định lý giới hạn được gọi là lý thuyết xác suất. Hạn chế định lý cung cấp cơ hội không chỉ để thực hiện dự báo khoa học trong lĩnh vực hiện tượng ngẫu nhiên mà còn để đánh giá tính chính xác của các dự báo này.
Trong chương này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét một số, các hình thức định lý giới hạn đơn giản nhất. Đầu tiên, các định lý thuộc nhóm “Luật số lượng lớn” sẽ được xem xét, sau đó các định lý thuộc nhóm “Định lý giới hạn trung tâm”.
Nó khá tự nhiên để định lượng tuyên bố rằng trong loạt bài kiểm tra “lớn” về tần suất của sự kiện “Đóng” vào xác suất của nó. Rõ ràng là hãy tưởng tượng sự tinh tế nổi tiếng của nhiệm vụ này. Thông thường nhất về lý thuyết về xác suất, tình hình là tình huống theo cách mà trong một loạt các thử nghiệm dài tùy ý vẫn còn về mặt lý thuyết, cả hai giá trị tần số cực đoan
\ Frac (\ mu) (n) u003d \ frac (n) (n) u003d 1 và \ Frac (\ mu) (n) u003d \ frac (0) (n) u003d 0
Do đó, những gì sẽ là số lượng thử nghiệm n, không thể được chấp thuận với độ tin cậy đầy đủ, sẽ được thực hiện, nói, bất bình đẳng
Trong tất cả các nhiệm vụ như vậy, bất kỳ ước tính không cần thiết nào về độ gần giữa tần số và xác suất không hoàn toàn chính xác, mà chỉ với một số ít hơn một xác suất. Ví dụ, bạn có thể chứng minh rằng trong trường hợp các bài kiểm tra độc lập với xác suất liên tục của một sự kiện trong sự xuất hiện của các sự kiện
\ Vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,<0,!02
Đối với tần số \ frac (\ mu) (n) sẽ được thực hiện ở n u003d 10 \, 000 (và bất kỳ p nào) với xác suất
Pu003e 0, \! 9999.
Ở đây, trước hết, chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong công thức trên, ước tính định lượng của độ gần của tần số \ frac (\ mu) (n) được liên kết với sự ra đời của một xác suất mới.
Ý nghĩa thực sự của đánh giá (8) như sau: Nếu bạn tạo ra một loạt các bài kiểm tra N và để đếm số m của loạt bài, trong đó bất đẳng thức (7) được thực hiện, sau đó với một N đủ lớn khoảng
\ Frac (m) (n) \ xấp xỉ pu003e 0, \! 9999.
Không nên nghĩ rằng loại khó khăn này là một số tính năng của lý thuyết xác suất. Với nghiên cứu toán học về hiện tượng thực tế, chúng tôi luôn sơ đồ chúng. Độ lệch của hiện tượng thực tế từ sơ đồ lý thuyết có thể, lần lượt, sẽ phải tuân theo nghiên cứu toán học. Nhưng đối với điều này, những sai lệch này phải được đưa vào một số kế hoạch và sau này để thưởng thức mà không cần phân tích toán học chính thức về những sai lệch từ nó.
LƯU Ý, tuy nhiên, với ứng dụng thực sự của đánh giá
Đối với một loạt bài kiểm tra n, chúng tôi dựa vào một số cân nhắc về đối xứng: bất bình đẳng (10) chỉ ra rằng với một số rất lớn dòng N, tỷ lệ (7) sẽ được thực hiện ít nhất 99,99% trường hợp; Đương nhiên, điều quan trọng là hy vọng rằng, đặc biệt, bất bình đẳng (7) sẽ được thực hiện trong một loạt các bài kiểm tra mối quan tâm của chúng tôi, nếu chúng ta có lý do để tin rằng loạt phim này trong một số loạt khác chiếm một số bình thường, Không có vị trí đặc biệt.
Các xác suất bị bỏ quên trong các quy định thực tế khác nhau là khác nhau. Nó đã được lưu ý rằng trong các tính toán ước tính của mức tiêu thụ thông qua, đảm bảo sự hoàn thành của nhiệm vụ, hài lòng với tốc độ tiêu thụ thông qua, mà tại đó nhiệm vụ được giải quyết với xác suất 0,95, tức là họ bỏ bê xác suất không vượt quá 0,05. Điều này được giải thích bởi thực tế là việc chuyển đổi để tính toán phát ra từ bỏ qua từ bỏ qua, giả sử, chỉ có xác suất, ít hơn 0,01, sẽ dẫn đến sự gia tăng lớn về chi phí của các đoạn đạn, tức là trong nhiều trường hợp, đến kết luận về Sự bất khả thi của việc hoàn thành nhiệm vụ trong khoảng thời gian ngắn có sẵn cho việc này, hoặc thực sự có thể được sử dụng bởi sự dự trữ của vỏ.
P_ (10) u003d p ^ (10), \ qquad p_9 u003d 10p ^ 9 (1-p), \ qquad p_8 u003d 45p ^ 8 (1-p) ^ 2.
Trong số tiền cho trường hợp p u003d \ frac (1) (2) chúng tôi nhận được P u003d p_ (10) + p_9 + p_8 u003d \ frac (56) (1024) \ xấp xỉ, \! 05.
Nếu định mức 0,05 đối với các nghiên cứu khoa học nghiêm trọng rõ ràng là không đủ, thì xác suất của một lỗi trong 0,001 hoặc 0,003 chủ yếu được đưa vào ngay cả trong nghiên cứu học tập và kỹ lưỡng như đang điều trị các quan sát thiên văn. Tuy nhiên, đôi khi các kết luận khoa học dựa trên việc sử dụng các mẫu xác suất và độ tin cậy lớn hơn đáng kể (tức là được xây dựng để bỏ qua các xác suất thấp hơn đáng kể). Điều này sẽ được nói thêm.
Trong các ví dụ được xem xét, chúng tôi đã nhiều lần sử dụng các trường hợp riêng tư của công thức nhị thức (6)
P_m u003d c_n ^ mp ^ m (1-p) ^ (n-m)
Đối với xác suất P_M, để có được chính xác các kết quả dương tính với các bài kiểm tra độc lập N, trong mỗi kết quả tích cực có xác suất P. Hãy xem xét với sự trợ giúp của công thức này, câu hỏi được thực hiện ở đầu đoạn này, về khả năng
trong đó \ mu là số lượng thực tế của kết quả tích cực. Rõ ràng, xác suất này có thể được ghi lại là tổng của các p_m đó, trong đó m thỏa mãn bất đẳng thức
\ vline \, \ frac (m) (n) -p \, \ vline \, đó là, dưới dạng
P u003d \ sum_ (m u003d m_1) ^ (m_2) p_m,
trong đó m_1 là nhỏ nhất trong số các giá trị của m thỏa mãn bất bình đẳng (12) và m_2 là lớn nhất trong số này m.
Công thức (13) với bất kỳ NS lớn nào rất thích hợp để tính toán trực tiếp. Do đó, việc phát hiện ra MOAVR rất quan trọng đối với trường hợp P u003d \ frac (1) (2) và Laplace với bất kỳ công thức pus triệu P nào, giúp nó rất dễ tìm và khám phá hành vi của xác suất P_M với n lớn. Công thức này có hình thức
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi np (1-p))) \ exp \! \ Left [- \ frac ((m-np) ^ 2) (2np (1-p)) \ Đúng].
Nếu p không quá gần bằng 0 hoặc đơn vị, thì nó khá chính xác cho n khoảng 100. Nếu bạn đặt
T u003d \ frac (m-np) (\ sqrt (np (1-p))),
Sau đó công thức (14) sẽ có được chế độ xem
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi np (1-p))) \, e ^ (- t ^ 2/2).
Từ (13) và (16) bạn có thể rút một biểu diễn gần đúng của xác suất (11)
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ giới hạn _ (- t) ^ (t) e ^ (- t ^ 2/2) \, dt u003d f (t),
T u003d \ varepsilon \ sqrt (\ frac (n) (p (1 p)))
Sự khác biệt giữa các phần bên trái và bên phải trong (17) là hằng số và khác với số 0 và đơn vị P có xu hướng n \ đến \ infty so với \ Varepsilon về 0. Đối với chức năng f (t) các bảng chi tiết được biên dịch. Đây là một đoạn trích ngắn của họ
Khi t \ to \ encty, giá trị của hàm f (t) tìm kiếm một đơn vị.
Chúng tôi sản xuất với sự trợ giúp của công thức (17) đánh giá xác suất
P u003d \ mathbf (p) \! \ Left \ (\, \ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,<0,!02right}approx F!left(frac{2}{sqrt{p(1-p)}}right) cho n u003d 10 \, 000, ~ \ varepsilon u003d 0, \! 02, như T u003d \ frac (2) (\ sqrt (p (1-p))).
Vì hàm f (t) tăng theo đơn điệu tăng dần, sau đó không phụ thuộc vào ước tính P P, cần phải có giá trị nhỏ nhất có thể (ở p) khác nhau. Một giá trị nhỏ nhất có được ở p u003d \ frac (1) (2) và nó sẽ bằng 4. Do đó, xấp xỉ
P \ GEQSLANT F (4) u003d 0, \! 99993.
Quan hệ (11), (17) và (18) có thể được viết lại như
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (\, \ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,
Đối với một t đủ lớn, phía bên phải của công thức (20), không chứa n, gần với một, đó là gần đó, đó là giá trị của xác suất hoàn toàn tự tin. Chúng tôi thấy theo cách như vậy theo quy định, độ lệch tần số \ frac (\ mu) (n) từ xác suất P đã đặt hàng \ Frac (1) (\ sqrt (n)). Tỷ lệ chính xác của tính chính xác của hiệu lực của các mẫu xác suất trong căn bậc hai từ số lượng quan sát là điển hình và đối với nhiều vấn đề khác. Đôi khi họ nói có phần phổ biến đơn giản hóa về “luật của một căn bậc hai từ n” là luật chính của lý thuyết xác suất. Suy nghĩ này đã đầy đủ nhờ sự ra đời của nhà toán học vĩ đại Nga P. L. Ch Quashev trong việc sử dụng hệ thống của phương pháp các nhiệm vụ xác suất khác nhau để tính toán “kỳ vọng toán học” và “phân tán” cho các khoản tiền và số học trung bình “” biến ngẫu nhiên “.
Biến ngẫu nhiên Được gọi là giá trị trong các điều kiện này có thể có các giá trị khác nhau với xác suất nhất định. Đối với chúng tôi, nó đủ để xem xét các biến ngẫu nhiên có thể chỉ mất một số lượng hữu hạn các giá trị khác nhau. Để chỉ ra như họ nói phân phối xác suất Loại biến ngẫu nhiên này \ Xi là đủ để chỉ định các giá trị có thể của nó x_1, x_2, \ ldots, x_r và xác suất
P_r u003d \ mathbf (p) \ (\ xi u003d x_r \).
Trong số lượng các xác suất này trong tất cả các giá trị có thể khác nhau của độ lớn \ XI luôn bằng một:
\ Sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r u003d 1.
Một ví dụ về một biến ngẫu nhiên có thể đóng vai trò là số lượng \ mu của kết quả tích cực trong các thử nghiệm.
Kỳ vọng toán học. Giá trị \ Xi gọi là biểu thức
M (\ xi) u003d \ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_rx_r,
nhưng phân tán. Các giá trị \ XI được gọi là kỳ vọng toán học của hình vuông của độ lệch \ Xi – M (\ Xi), I.E. Biểu thức
D (\ xi) u003d \ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r (x_r-m (\ Xi)) ^ 2.
Căn bậc hai từ sự phân tán
\ sigma _ (\ xi) u003d \ sqrt (d (\ Xi)) u003d \ sqrt (\ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r (x_r-m (\ Xi)) ^ 2)
gọi là Độ lệch bậc hai trung bình (giá trị từ kỳ vọng toán học M (\ Xi)).
Cơ sở của các ứng dụng đơn giản nhất về sự phân tán và độ lệch bậc hai trung bình là nổi tiếng bất đẳng thức chebyshev.
Nó cho thấy độ lệch của biến ngẫu nhiên \ XI từ kỳ vọng toán học M (\ Xi), vượt quá đáng kể độ lệch bậc hai trung bình \ sigma _ (\ Xi), rất hiếm.
Khi tạo biến ngẫu nhiên \ Xi u003d \ Xi ^ (((1)) + \ Xi ^ ((2)) + \ cdots + \ Xi ^ ((n)) Bình đẳng luôn luôn diễn ra cho kỳ vọng toán học của họ.
M (\ Xi) u003d M (\ Xi ^ ((1))) + M (\ Xi ^ ((2))) + \ cdots + m (\ Xi ^ ((n))).
Bình đẳng tương tự để phân tán
D (\ xi) u003d D (\ Xi ^ ((1))) + D (\ Xi ^ (((2))) + \ cdots + d (\ Xi ^ ((n))).
Đúng chỉ với một số hạn chế. Đối với bình đẳng vốn cổ phần (23), ví dụ, nó là đủ, các giá trị \ Xi ^ ((i)) và \ Xi (((((i)) và \ Xi ^ (((j)) không , như họ nói, “tương quan” giữa họ, tức là, để tôi \ ne j đã được thực hiện bình đẳng
M \ bigl \ (\ xi ^ (((i)) – m (\ Xi ^ ((i))))) (\ Xi ^ (((j)) – m (\ Xi ^ ((j))) ) Lớn \) u003d 0
Hệ số tương quan giữa các giá trị ngẫu nhiên \ Xi ^ (((i)) và \ Xi ^ ((j)) được gọi là biểu thức
R u003d \ frac (m \ bigl \ (\ bigl (\ xi ^ (((i)) – m (\ Xi ^ (((i))) \ bigl) \ bigl (\ Xi ^ ((((j)) – M (\ Xi ^ (((j))) \ big) \ big \)) (\ sigma _ (\ Xi ^ ((i))) \, \ sigma _ (\ Xi ^ (((j))) ).
Nếu một \ Sigma _ (\ xi ^ (((i))u003e 0 trong \ Sigma _ (\ Xi ^ ((j))u003e 0, Điều kiện (24) tương đương với thực tế là r u003d 0.
\ eta u003d a \ Xi + B \ Quad (a \ ne0).
Đối với các giá trị độc lập r u003d 0.
Đặc biệt, bình đẳng (24) được quan sát nếu các giá trị của \ Xi ^ ((i)) và \ Xi ^ ((j)) là độc lập. Do đó, bình đẳng (23) luôn hợp lệ cho các điều khoản độc lập lẫn nhau. Đối với số học cỡ trung bình
\ Zeta u003d \ frac (1) (n) \ bigl (\ xi ^ (((1)) + \ xi ^ ((2)) + \ cdots + \ Xi ^ ((n)) \ bigl) từ (23) sau
D (\ zeta _ u003d \ frac (1) (n ^ 2) \ bigl (d (\ Xi ^ ((1))) + d (\ Xi ^ (((2))) + \ cdots + d (\ Xi ^ ((n))) \ bigl).
Giả sử bây giờ cho tất cả các thuật ngữ phân tán không vượt quá một số hằng số
D (\ Xi ^ ((i))) \ Leqslant c ^ 2. Sau đó bởi (25) D (\ zeta) \ leqslant \ frac (c ^ 2) (n),
Bất bình đẳng (26) Chứa bản thân được gọi là luật số lượng lớn trong biểu mẫu được thành lập bởi Ch Quashev: Nếu các giá trị của \ Xi ^ ((i)) được hoàn toàn độc lập và có sự phân tán hạn chế, sau đó tăng N, của họ Số học trung bình \ Zeta ngày càng bị lệch khỏi kỳ vọng toán học M (\ Zeta).
Nói chính xác hơn trình tự các biến ngẫu nhiên
\ Xi ^ ((1)), \, \ Xi ^ ((2)), \, \ ldots \, \ Xi ^ ((n)), \, \ ldots
Để có được từ bất bình đẳng (26) mối quan hệ giới hạn (27), nó là đủ để đặt
T u003d \ varepsilon \ cdot \ frac (\ sqrt (n)) (c).
Loạt nghiên cứu lớn a.a. Markova, S.N. Bernstein, chúng tôi Hinchin và những người khác được dành cho câu hỏi có thể mở rộng các điều kiện áp dụng của mối quan hệ giới hạn (27), tức là các điều kiện áp dụng của luật số lượng lớn. Những nghiên cứu này có tầm quan trọng cơ bản. Tuy nhiên, một nghiên cứu chính xác về phân phối xác suất của sai lệch \ Zeta-M (\ Zeta) thậm chí còn quan trọng hơn.
Bằng khen tuyệt vời của Trường Cổ điển Nga trong lý thuyết xác suất là việc thiết lập thực tế là trong điều kiện rất rộng không có triệu chứng (tức là, với độ chính xác ngày càng chính xác n) bình đẳng
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (t_1 \ sigma _ (\ zeta)
Ch Quashev đã đưa ra một bằng chứng gần như hoàn toàn về công thức này cho trường hợp độc lập và hạn chế. Markov bổ sung liên kết còn thiếu trong lý do của Ch Quashev và mở rộng các điều kiện ứng dụng của công thức (28). Thậm chí nhiều điều kiện chung được cung cấp Lyapunov. Câu hỏi về sự lây lan của công thức (28) về tổng của các điều khoản phụ thuộc với sự hoàn chỉnh đặc biệt được nghiên cứu bởi S. N. Bernstein.
Công thức (28) đã bao phủ một số lượng lớn các nhiệm vụ riêng tư như vậy, trong một thời gian dài, nó được gọi là định lý giới hạn trung tâm của lý thuyết xác suất. Mặc dù với sự phát triển mới nhất của lý thuyết xác suất, hóa ra sẽ được bao gồm trong một số mô hình chung hơn, tầm quan trọng của nó rất khó để đánh giá cao và bây giờ
Thời gian.
Nếu các thành phần độc lập và sự phân tán của chúng là như nhau và bằng nhau: D (\ Xi ^ ((i))) u003d \ sigma ^ 2, Sau đó, công thức (28) thuận tiện, xem xét mối quan hệ (25), đưa ra quan điểm
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (\ frac (t_1 \ sigma) (\ sqrt (n))
Chúng tôi chỉ ra rằng tỷ lệ (29) chứa giải pháp về sự cố lệch tần số \ frac (\ mu) (n) về xác suất P, mà chúng tôi đã thực hiện trước đó. Để thực hiện việc này, chúng tôi giới thiệu các biến ngẫu nhiên \ Xi ^ (((i)) bằng cách xác định chúng với điều kiện sau:
\ Xi ^ ((i)) u003d 0, nếu i -e kiểm tra có kết quả tiêu cực,
\ Xi ^ ((i)) u003d 1, nếu thử nghiệm I -e có kết quả tích cực.
Thật dễ dàng để kiểm tra xem sau đó
LEMMA CHEBYSHEV.. Nếu một giá trị ngẫu nhiên hòxtrong đó có một kỳ vọng toán học M.[ x.] chỉ có thể chỉ nhận các giá trị phi âm, sau đó cho bất kỳ số dương nào là bất bình đẳng
Bất bình đẳng chebyshev. Nếu một hòx – Giá trị ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học M.[ x.] và phân tán. D.[ x.], sau đó bất bình đẳng diễn ra cho bất kỳ e tích cực nào
. (2)
Định lý Ch Quashev. (Luật số lượng lớn). Để cho được hòx 1 , hòx 2 , …, x n., … – Trình tự các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng kỳ vọng toán học m. và phân tán giới hạn bởi cùng một hằng số từ
. (3)
Bằng chứng về định lý dựa trên sự bất bình đẳng
, (4)
Định lý Bernoulli. Để nó được sản xuất n.thí nghiệm độc lập, trong mỗi trong số đó có xác suất Ở r có thể đến một số sự kiện NHƯNG , để nó đi v N.– Giá trị ngẫu nhiên bằng số lần xuất hiện của sự kiện NHƯNG Trong đó n. thí nghiệm. Sau đó cho bất kỳ eu003e 0 có một sự bình đẳng tối đa.
. (5)
. (6)
Định lý Cebyshev có thể được xây dựng theo hình thức tổng quát hơn một chút:
Tổng quát định lý Ch Quabyshev.Để cho được x 1., x 2., …, x n., … – Trình tự các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng toán học M.[ x. 1 ] = m 1, m[ x 2.] = m 2, …và phân tán giới hạn bởi cùng một hằng số từ. Sau đó cho bất kỳ số dương nào e bình đẳng tối đa diễn ra
. (7)
Đặt x-bao gồm sự xuất hiện của 6 điểm ở 3600 lần ném xương. Sau đó m [ x.] u003d 3600 u003d 600. Bây giờ chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức (1) tại A u003d 900: .
Chúng tôi sử dụng bất đẳng thức (6) tại n u003d 10000, p u003d, q u003d. Sau đó
Xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi 1000 thí nghiệm độc lập là 0,8. Tìm khả năng số lần xuất hiện của các sự kiện và trong 1000 thí nghiệm này sẽ đi chệch khỏi kỳ vọng toán học của nó trong một giá trị tuyệt đối dưới 50.
Thí dụ.
Đặt x là số lần xuất hiện của các sự kiện và trong 1000 thí nghiệm được chỉ định. Sau đó m [ x.] u003d 1000 × 0.8 u003d 800 và d [ x.] u003d 1000 × 0,8 × 0,2 u003d 160. Bây giờ bất bình đẳng (2) cho:
Sự phân tán của mỗi 1000 biến ngẫu nhiên độc lập x K (K u003d 1, 2, …, 1000) là 4. Đánh giá khả năng độ lệch của số học trung bình của các giá trị này từ các kỳ vọng toán học số học trung bình trong Giá trị tuyệt đối sẽ không vượt quá 0,1.
Thí dụ.
Theo bất bình đẳng (4) tại C u003d 4 và E u003d 0,1 chúng ta có.
7 Định Luật Lớn Của Vũ Trụ Cần Khắc Cốt Ghi Tâm
1. Luật hấp dẫn
“Một khi anh đã quyết chí thì cả vũ trụ sẽ giúp anh đạt được việc đó”. Đây là một câu nói nổi tiếng trong cuốn sách Nhà giả kim, dạy cho chúng ta về sức mạnh tận cùng của ước mơ.
Bạn nói mình khao khát, bạn nói mình muốn thành công, bạn nói mình muốn lấy được người trong mộng…nhưng tất cả những gì bạn đang làm là ngủ đến 10 sáng, ngồi xem hài nhảm cả ngày, không đọc sách, lười lao động…thì đừng bảo sao luật hấp dẫn không phát huy tác dụng.
Hay nói đơn giản là nếu muốn trúng Vietlott, ít nhất (tối thiểu thôi) bạn phải mua một chiếc vé số đã chứ.
2. Luật tập trung
Nếu trường học dạy bạn cần học giỏi ở mọi môn, cả tự nhiên lẫn xã hội, thì trường đời lại trao thưởng cực kỳ hậu hĩnh cho những kẻ đứng đầu, xuất chúng trong một lĩnh vực.
Bạn có thể thích và muốn nhiều thứ: thích bóng đá, thích kinh doanh, thích đi học, muốn làm chồng đảm đang, muốn là đứa bạn tốt…nhưng định luật tập trung nói rằng bạn cần phải thực sự rất giỏi một thứ gì đó.
Dù là thợ sửa xe, dân thiết kế, hay chuyên bán đồ ăn qua mạng…chỉ cần bạn thực sự tập trung để đẫn đầu trong ngành mình lựa chọn, đời bạn sẽ nở hoa. Còn nếu cứ mãi “mỗi thứ biết một tí”, thì bản chất của việc tập trung vào mọi thứ thì thực ra bạn đang không tập trung vào một điều gì.
3. Luật trách nhiệm
Rồi sẽ có lúc, bạn ngộ ra rằng không ai khác ngoài bạn, đơn độc làm chủ cái đầu của mình. Vậy nên, mọi thứ bạn nghĩ, mọi niềm tin bạn có, mọi việc bạn làm đến tận cùng đều là do bạn cả.
Nếu bạn làm ai tổn thương, đó là lỗi của bạn. Năm 20 tuổi vẫn nghèo có thể do lỗi của bố mẹ, nhưng 30 tuổi lương vẫn 7 triệu và than cuộc đời bất công thì đó là lỗi của bạn.
Ngưng đổi lỗi và nhận trách nhiệm cuộc đời vào bàn tay mình, hạnh phúc chắc chắc sẽ đến.
4. Luật kiên trì
Người thành công không bao giờ bỏ cuộc và người bỏ cuộc không bao giờ thành công. Tất nhiên là bạn có tạm dừng để nghỉ ngơi, chuyển hướng…nhưng không được từ bỏ.
Bạn kiên trì và nỗ lực bao nhiêu thì sẽ nhận lại được bấy nhiêu. Trên đời này, tôi hiếm khi gặp một ai dám nói: “Tôi đã thử hết mọi cách, tôi đã tìm đến mọi sự trợ giúp, tôi đã cố gắng hết sức mình…và tôi vẫn thất bại cả”.
Vì sự thật là một khi bền bỉ và đặt hết tâm trí vào việc mình làm, tất yếu là định luật kiên trì sẽ tưởng thưởng cho bạn xứng đáng.
5. Luật nhân quả
Có lẽ sống đến giờ này, bạn cũng nghe rất nhiều đến câu “Gieo nhân nào, gặt quả đấy”. Dù có muốn chối bỏ đến đâu, thì sau này bạn cũng ngộ ra rằng, bất cứ điều gì mình làm rồi cũng sẽ để lại một kết quả gì đấy.
Những gì bạn làm hôm nay sẽ quyết định ngày mai của bạn. Nếu bạn ác với người khác, làm điều xấu, thì ác hữu ác báo, trốn mãi cũng không được.
Nếu bạn làm điều tốt, học cách cho đi, không nói dối, kiếm tiền chân chính…thì luật nhận quả sẽ trả lời bạn đầy đủ.
6. Luật chấp nhận
Mọi thứ xảy ra trong cuộc đời này đều có lý do. Có rất nhiều thứ nếu chịu cố gắng, mọi chuyện có thể thay đổi nhưng có một số chuyện bạn buộc phải chấp nhận rằng mình thực sự bất lực và phải “cho qua đi”.
Khi học được cách chấp nhận, rằng có thể cô ấy sẽ không yêu mình, rằng có thể rồi bố mẹ rồi cũng có ngày ra đi, rằng mình mất hết thật rồi, chúng ta sẽ thay đổi bản thân cho phù hợp với hoàn cảnh để dễ thích nghi hơn.
Thấu hiểu rằng dù có giỏi giang đến đâu, bạn không thể luôn bắt mọi chuyện diễn ra theo ý mình là một sự giải thoát khỏi gánh nặng chối bỏ mà định luật chấp nhận có thể đem lại cho cuộc đời bạn.
7. Luật kết nối
Mọi sự đều gắn kết với nhau bằng một sợi dây vô hình nào đấy. Có những chuyện bạn làm bây giờ bị người khác coi là vô nghĩa, nhưng 10 năm sau lại là cực kỳ quan trọng. Người bạn giúp hôm nay biết đâu mai này lại trở thành quý nhân phù trợ.
Nhận ra được mối quan hệ tương hỗ này, hãy biết trân trọng và có trách nhiệm mọi kết nối mà bạn tạo ra.
Nguồn: Nghĩ Giàu – Làm Giàu
Cách Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Bằng Định Nghĩa Cực Hay
Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
– Để chứng minh limu n = 1 ta chứng minh lim(u n-1) = 0.
– Để chứng minh limu n = -∞ ta chứng minh lim(-u n) = +∞
– Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Ta có:
Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (u n ) : u n = (-1) n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (u n) không có giới hạn.
Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
Ta chọn
Do đó:
Bài 4: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau
Hướng dẫn:
2. Ta có
Ta có:
Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
Hướng dẫn:
Ta có:
Vậy A = 2
Ta có:
Vậy C = 1
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (u n): u n = (-1) n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.
Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
Ta có:
Mà Từ đó suy ra:
2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm
+
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Cách 1.
= lim1 + lim(1/n) = 1 + 0 = 1
Đáp án C
Chọn đáp án C
Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
Bài 3: có giá trị bằng:
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Đáp án là D
Nếu m < p thì limu n = 0. Nếu m = p thì
Bài 4: bằng:
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Đáp án là A
Bài 5: bằng:
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Đáp án là B
Bài 6: Dãy số nào sau đây có giưới hạn bằng 1/5 ?
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Cách 1. Tính được
Bài 7: có giá trị bằng:
Bài 8: có giá trị bằng:
Bài 9: bằng:
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Trước hết tính
Do đó
Đáp án là B
Bài 10: bằng:
A. -3 B.0 C. -∞ D. +∞
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Ta có:
Vì
nên lim(-3n 3 + 2n 2 – 5) = -∞
Đáp án C
A. -∞ B.0 C. 2 D. +∞
Bài 13: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞ ?
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Đáp án là C
Bài 15: bằng:
A. 0 B.1 C. 2 D. +∞
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Đáp án là B
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Bạn đang xem bài viết Định Luật Số Lớn Và Định Lý Giới Hạn Trung Tâm trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!