Cập nhật thông tin chi tiết về Đường Vuông Góc Chung Của Hai Đường Thẳng Chéo Nhau mới nhất trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Định nghĩa. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $Delta$ vuông góc và cắt cả hai đường thẳng này. Đường thẳng $Delta$ được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$.
Giả sử $Delta$ cắt $a$ và $b$ lần lượt tại $A$ và $ B $. Đoạn thẳng $AB$ được gọi là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.
Ví dụ 1. Trong hình lập phương $ABCD cdot A’B’C’D’.$ Vì $BB’$ vuông góc và cắt $AB$ và $B’C’$ nên $BB’$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $BB’$.
Tương tự $OO’$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $B’D’$. mặt dù $BB’$ đồng thời vuông góc với $AC$ và $B’D’$ nhưng đây không phải là đoạn vuông góc chung vì $BB’$ chỉ cắt $B’D’$ mà không cắt $AC$.
Bước 1. Dựng mặt phẳng $left( P right)$ chứa $a$ và song song với $b$.
Bước 2. Dựng mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $a$ và vuông góc với $left( P right).$
Bước 3. Gọi $B = left( Q right) cap b.$ Từ $B$ dựng $Delta bot a$ tại $A$.
Giải. Cách1. Theo các bước như trên.
B1. Mặt phẳng $left( {ABB’A’} right)$ chứa $AB$ và song song với $CC’.$ B2. Mặt phẳng $left( {ABC} right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $left( {ABB’A’} right).$ B3. Mặt phẳng $left( {ABC} right)$ cắt $CC’$ tại $C$. Đoạn $HC bot AB.$ Vậy đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC’$ là $HC$.
Cách 2. Ta trực tiếp tìm đoạn thẳng vuông góc và cắt $AB$ và $CC’$. Ta đoán đó là $HC$. Rõ rằng $HC$ đã cắt $AB$ và $CC’$. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $HC$ vuông góc với hai đường thẳng này.
Từ giả thiết ta có $HC bot AB$. $left( 1 right)$ Mặt khác, $CC’parallel left( {ABCD} right),$ mà $CH bot left( {ABCD} right)$ nên $CH bot CC’.$ $left( 2 right)$ Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$ suy ra $HC$ là đoạn vuông góc chung cần tìm.
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Cách Tìm Đoạn Vuông Góc Chung Của Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
A. Phương pháp giải
* Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: Δ và Δ’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ’ và vuông góc với Δ tại I .
+ Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ ⊥ Δ’
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ’) = IJ.
Trường hợp 2: Δ và Δ’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
+Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ’ và song song với Δ.
+ Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống (α) bằng cách lấy điểm M ∈ Δ dựng đoạn MN ⊥ (α), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.
+ Bước 3: Gọi H = d ∩ Δ’ , dựng HK
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ’) = HK = MN
Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) ⊥ Δ tại I .
Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ’ xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ ⊥ d, từ J dựng đường thẳng song song với Δ cắt Δ’ tại H , từ H dựng HM
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ’) = HM = IJ.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi K; H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH
D. Các khẳng định trên đều sai
Hướng dẫn giải
+ Ta xét các phương án:
– Phương án A:
Giả sử AK ⊥ AC, do AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ (ABC)
⇒ AK ≡ SA ( vì SA ⊥ (ABC)) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ΔSAD có 2 góc vuông (vô lý)
– Phương án B:
Theo tính chất của hình vuông thì AC và CD không vuông góc với nhau nên đoạn vuông góc chung của AC và SD không phải CD.
– Phương án C:
Giả sử AC ⊥ OH, do AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SO
Lại có: SA ⊥ AC ⇒ vô lý.
⇒ Đoạn vuông góc chung của AC và SD không phải là OH.
Chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD
+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.
Tương tự: NB = (a√3)/2.
⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N
suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB
+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.
Ví dụ 3: Cho hình chóp chúng tôi có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải
+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC
Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.
+ Ta có:
Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD
Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)
⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.
Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.
+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC
Hướng dẫn giải
Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:
Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC
⇒ d(SD; BC) = DC.
Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có
Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.
Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD
⇒ AM = BM
⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ MN ⊥ AB
+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD
⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
⇒ d( AB; CD) = MN
+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.
Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2
Chọn đáp án B
Ví dụ 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’
Hướng dẫn giải
Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC’ ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D’C
⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.
Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’
⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)
Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’
+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có
+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:
+ Xét tam giác ADC’ có:
Chọn đáp án D
Ví dụ 7: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Khoảng cách giữa BD và SC là
A. độ dài của đoạn thẳng OA.
B. Độ dài của đoạn thẳng BC.
C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC.
D. Khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD.
Hướng dẫn giải
+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mà (SAB) ∩ (SAD) = SA
⇒ SA ⊥ (ABCD)
+ Ta có: BD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD). Và BD ⊥ AC (vì ABCD là hình vuông)
⇒ BD ⊥ (SAC) tại O, mà SC ⊂ (SAC) nên d(BD; SC) = d(O; SC)
(Chú ý: trong mp(SAC) kẻ OH vuông góc SC thì OH chính là đoạn vuông góc chung của BD và SC) .
Chọn đáp án C
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp chúng tôi có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC?
Hiển thị lời giải
⇒ CD ⊥ (SAD)
⇒ d(SD; BC) = CD
⇒ AB = CD = √3a
⇒ d(SD; BC) = CD = √3a
Đáp án D
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều chúng tôi có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD
Hiển thị lời giải
⇒ BD ⊥ OH
Chọn đáp án D
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a và SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a?
Hiển thị lời giải
Nên: d(SA; BD) = AH
Chọn đáp án D
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1B 1C 1D 1 có AA 1 = 2a; AD = 4a. Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1B 1 và C 1 M bằng bao nhiêu?
Hiển thị lời giải
Chọn đáp án B
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Khoảng cách giữa AD và SB là
Hiển thị lời giải
+ Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 6: Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a; AD = 2a ; SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB?
Hiển thị lời giải
Ta có:
Ta có:
Chọn đáp án D
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là:
A. AA’ B. BB’ C. DA’ D. DD’
Hiển thị lời giải
Chọn đáp án A.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Lý Thuyết Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.
2. Tính chất.
Tính chất 1.
Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.
Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn AB, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (h.3.26).
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Tính chất 3.
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng song song với nhau.
Tính chất 5.
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
4. Phép chiếu vuông góc.
Định nghĩa:
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P) (h.3.27).
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Định nghĩa:
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa a và (P) bằng (90^{0} .)
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P), gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (h.3.28).
Chú ý: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá (90^{0} .)
chúng tôi
Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu
Bài viên sẽ đưa ra cho các em khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên và các định lý về mối quan hệ giữa chúng. Bài viết này cũng có các bài tập vận dụng để các em củng cố và nâng cao kiến thức.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu I/ Kiến thức cần nhớ 1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên
+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;
Điểm H gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
+ Đoạn AB gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ:
(AH bot a,, Rightarrow AH < AB.)
3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Ví dụ: (AB = AC Leftrightarrow HB = HC.)
II/ Bài tập vận dụng 1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
(B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
(D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Hướng dẫn:
+ Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc vói một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước.
Bởi vậy, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Vậy:
A. Đúng B. Sai C. Sai D. Đúng
Trong hình trên, AH là đường vuông góc (duy nhất) và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế).
Câu 2: Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hướng dẫn:
Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có:
HB < HC ( Rightarrow ) AB < AC.
Chọn (C).
Câu 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:
(A) AH < BH (B) AH < AB
Chọn (C).
Câu 4: Trong tam giác ABC có chiều cao AH. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) Nếu BH < HC thì AB < AC
(B) Nếu AB < AC thì BH < HC
(C) Nếu BH = HB thì AB = AC
(D) Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn:
Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH; CH là hai hình chiếu.
Khi đó:
+ Nếu BH < HC thì AB < AC
+ Nếu AB < AC thì BH < HC
+ Nếu BH = HB thì AB = AC
Nên cả A, B, C đều đúng.
Chọn (D).
Câu 5: Cho hình vẽ sau:
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
(C) MA = MB (D) MC < MA
Hướng dẫn: Chọn (D). 2. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao?
Gọi D là giao điểm của cung đó với đường thẳng BC (giả sử D và C nằm cùng phía vói H trên đường thẳng BC).
Đường xiên AD nhỏ hơn đường xiên AC nên hình chiếu HD nhỏ hơn hình chiếu HC. Do đó D nằm giữa H và c. Vậy cung tròn tâm A nói trên cắt cạnh BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác ADE ta có (angle AED = {90^0}) nên AE < AD (1)
Trong tam giác CFD ta có (angle CFD = {90^0}) nên CF < CD (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE + CF < AD + CD
Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC
Vậy AE + CF < AC (đpcm).
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng (AB < frac{{BE + BF}}{2}.)
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABM vuông góc tại A ( Rightarrow ) AB < BM.
Mà BM = BE + EM = BF – MF
Do đó: AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)
Tam giác MAE = Tam giác MCF (cạnh huyền – góc nhọn)
( Rightarrow ) ME = MF. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AB + AB < BE + BF
( Rightarrow ) 2AB < BE + BF nên (AB < frac{{BE + BF}}{2}) (đpcm).
Bài 5: Cho hình sau. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABD vuông tại D suy ra BD < AB. (1)
Tam giác ACE vuông tại E suy ra CE < AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD + CE < AB + AC. (đpcm).
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB.
Bạn đang xem bài viết Đường Vuông Góc Chung Của Hai Đường Thẳng Chéo Nhau trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!