Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số mới nhất trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
, Tra cứu, xem điểm thi vào lớp 10, tốt nghiệp THPT, Đại học – Cao đẳng at Công ty Cổ phần Liên kết giáo dục Việt Nam
Published on
1. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D ¡ . Ta có max x D M f x 0 0: f x M x D x D f x M ; min x D m f x 0 0: f x m x D x D f x m . 2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn ;a b , ta làm như sau: B1 Tìm các điểm 1x , 2x , …, mx thuộc khoảng ;a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. B2 Tính 1f x , 2f x , …, mf x , f a , f b . B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn ;a b . 1 2 ; max max , , , , ,m x a b f x f x f x f x f a f b K . 1 2 ; min min , , , , ,m x a b f x f x f x f x f a f b K . Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x trên đoạn 0;2 .
2. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 2 Giải. Ta có 2 2 2 2 4 3 1 2 3 3 2 4 ‘ 0 1 1 x x x x x x y x x 0;2x . Lại có 0 3y , 17 2 3 y . Suy ra 0;2 min 3 x y , 0;2 17 max 3x y . Nhận xét. f đồng biến trên ;a b ; ; min max x a b x a b f x f a f x f b ; f nghịch biến trên ;a b ; ; min max x a b x a b f x f b f x f a . Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 4y x x . Giải. 2;2TXÑ . Ta có 2 2 2 4 ‘ 1 4 4 x x x y x x ( 2;2x ). Với mọi 2;2x , ta có ‘ 0y 2 4 0x x 2 4 x x 2 2 0 4 x x x 2x . Vậy min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y , đạt được 2x ; max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y , đạt được 2 . Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 1 x y x trên đoạn 1;2 . Giải. Ta có 2 2 2 2 2 1 1 11’ 1 1 1 x x x xxy x x x .
3. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 3 Với mọi 1;2x ta có ‘ 0y 1x . Vậy 3 5 min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0 5 y y y y , đạt được 1x ; 3 5 max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2 5 y y y y , đạt được 1x . Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln x y x trên đoạn 3 1;e . Giải. Ta có 2 2 2 2 ln 2 . ln 2ln ln ‘ x x x x xx y x x . Với mọi 3 1;x e ta có ‘ 0y 2 2ln ln 0x x ln 0x hoặc ln 2x 1x hoặc 2 x e 2 x e ( 3 1 1;e ). Vậy 3 2 3 2 9 4 min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e e e , đạt được 1x . 3 3 2 2 9 4 4 max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e e e e , đạt được 2 x e . Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2 4 21 3 10y x x x x . Giải. TXÑx 2 2 4 21 0 3 10 0 x x x x 3 7 2 5 x x 2 5x , suy ra 2;5TXÑ= . Ta có 2 2 2 2 3 ‘ 4 21 2 3 10 x x y x x x x .
4. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 4 ‘ 0y 2 2 2 2 3 4 21 2 3 10 x x x x x x 2 2 2 2 4 4 4 12 9 4 21 4 3 10 x x x x x x x x 2 2 2 2 4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x 2 51 104 29 0x x 1 3 x hoặc 29 17 x . Thử lại, ta thấy chỉ có 1 3 x là nghiệm của ‘y . 2 3y , 5 4y , 1 2 3 y min 2y , đạt được 1 3 x . C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) 2 4y x . 2) 2 2 5y x x trên đoạn 2;3 . 3) 2 2 4y x x trên đoạn 2;4 . 4) 3 3 3y x x trên đoạn 3 3; 2 . 5) 3 21 2 3 4 3 y x x x trên đoạn 4;0 . 6) 3 2 3 9 1y x x x trên đoạn 4;4 . 7) 3 5 4y x x trên đoạn 3;1 . 8) 4 2 8 16y x x trên đoạn 1;3 . 9) 1 y x x trên khoảng 0; . 10) 1 1 y x x trên khoảng 1; . 11) 1 y x x trên nửa khoảng 0;2 . 12) 2 x y x trên nửa khoảng 2;4 . 13) 2 2 5 4 2 x x y x trên đoạn 0;1 . 14) 4 4 sin cosy x x . 15) 2 2sin 2sin 1y x x .
5. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 5 16) 2 cos 2 sin cos 4y x x x . 17) 3 2 cos 6cos 9cos 5y x x x . 18) 3 sin cos2 sin 2y x x x . 19) 3 sin3 3siny x x 20) 2 2cos cos 1 cos 1 x y
6. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 6 §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: Xác định ẩn phụ t . Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho x , 0y thỏa mãn 4x y . Tìm GTLN, GTNN của 3 3 1 1S x y . Giải. Đặt t xy , suy ra 2 0 4 4 x y t . Ta có S 3 2 3 1xy x y x y xy 3 2 4 4 3 1t t 3 12 63t t . Xét hàm 3 12 63f t t t , với 0;4t . Ta có 2 ‘ 3 12 0f t t 0;4t f t đồng biến trên 0;4 . Do đó 0;4 min min 0 63 t S f t f , đạt được khi và chỉ khi 4 0 x y xy ; 4;0x y hoặc ; 0;4x y . 0;4 max max 4 49 t S f t f , đạt được khi và chỉ khi 4 4 x y xy ; 2;2x y . Ví dụ 2. Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 2x y . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy . Giải. Đặt t x y 0t . Ta có 22 2 2 2 4t x y x y 2t , 22 2 2 2 2 2 2t x y x y xy x y 2t . Suy ra 2;2t . Lại có 2 2 2 21 1 2 2 x y x y xy t 21 1 2 S f t t t .
7. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 7 Ta có ’ 1 0f t t với mọi 2;2t , 2 1f , 3 1 2 f . Do đó min 2 1S f , đạt được 2 2 2 2 x y x y 1 1 x y . 3 max 1 2 S f , đạt được 2 2 1 2 x y x y 1 3 2 1 3 2 x y hoặc 1 3 2 1 3 2 x y . Ví dụ 3. Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 8x y . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x . Giải. Đặt t x y , ta có 2 2 2 2 2 8 16x y x y 4t , 2 2 2 2 2 2 8x y x y xy x y 2 2t . Suy ra 2 2 4t . Lại có 2 2 2 2 8 2 2 x y x y t x y . Ta có biến đổi sau đây S 1 1 1 1 x x y y y x 2 2 1 x y x y xy x y xy 2 2 2 8 8 1 2 t t t t t 2 8 2 2 6 t t t . Xét hàm 2 8 2 6 t f t t t với 2 2 4t . Ta có 2 2 2 22 2 2 6 8 2 2 16 22 ‘ 0 2 6 2 6 t t t t t t f t t t t t , : 2 2 4t t . Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4 . Do đó 2 2;4 2 min 4 3t f t f . max 2 2 2f t f . +) 2 2;4 4 2 min 3t S f t , dấu bằng xảy ra 2 2 8 4 x y x y 2x y . Vậy 4 min 3 S , đạt được 2x y .
8. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 8 +) 2 2;4 2 max 4 2 t S f t , dấu bằng xảy ra 2 2 8 2 2 x y x y 0 2 2 x y hoặc 2 2 0 x y . Vậy 4 max 3 S , đạt được 0 2 2 x y hoặc 2 2 0 x y . Ví dụ 4. Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 1 1 1 3 x y S y x x y . Giải. Đặt t x y 2 3 0 3 4 xy t t t 3 2 3 xy t t . Ta có S 3 3 2 2 1 1 1 3 x y x y x y x y 3 2 3 2 1 1 3 x y xy x y x y xy xy x y x y 3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 t t t t t t t t 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t t t . Xét hàm 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t f t t t , 2;3t . Ta có 2 2 3 7 1 ‘ 2 0 4 4 3 t f t t t , 2;3t 1f đồng biến trên 2;3 . Do đó 4 2 5 S f t f . Dấu “” xảy ra 3 2 x y xy x y 1x y 4 min 5 S , Đạt được 1x y . 35 3 6 S f t f . Dấu “” xảy ra 3 3 x y xy x y 0 3 x y hoặc 3 0 x y .
9. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 9 35 max 6 S , Đạt được 0 3 x y hoặc 3 0 x y . Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x xy y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 S x xy y . Giải. Cách 1. Từ giả thiết suy ra 2 2 2 2 3 1 4 4 x y x y x y xy x y . Do đó, nếu đặt t x y thì 23 1 4 t , hay 2 3 2 3 ; 3 3 t . Ta có 2 2 1 1xy x y t , suy ra 2 2 2 2 3 3 1 2 3S x y xy t t t . Xét hàm 2 2 3f t t với 2 3 2 3 ; 3 3 t . Ta có ’ 4f t t , ’f t có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 0 ; 3 3 t . Ta có 0 3f , 2 3 2 3 1 3 3 3 f f . Do đó 1 min 3 S , đạt được chẳng hạn khi 2 2 2 3 3 1 x y x xy y 2 2 3 3 1 x y x y xy 2 3 3 1 3 x y xy 1 1 ; ; 3 3 x y . max 3S , đạt được khi và chỉ khi 2 2 0 1 x y x xy y 2 0 1 x y x y xy 0 1 x y xy ; 1; 1x y hoặc ; 1;1x y .
10. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 10 Cách 2. Ta có 2 2 2 2 x xy y S x xy y . Xét 0y . Khi đó 1S . Xét 0y . Chia cả tử và mẫu của S cho 2 y và đặt x t y , ta được 2 2 2 1 2 1 1 1 t t t S t t t t . Xét hàm 2 2 1 1 t f t t t , ta có 2 22 2 1 ‘ 1 t f t t t . Bảng biến thiên của hàm f t : 2 2 lim lim 1 1 1 1 1 t t tf t t t . Suy ra: +) 1 min 3 S , đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y 1 1 ; ; 3 3 x y hoặc 1 1 ; ; 3 3 x y . +) max 3S . Đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y ; 1; 1x y hoặc ; 1;1x y . Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn 3 4 2x y xy . Tìm GTNN của 4 4 2 2 2 2 3 2 1A x y x y x y . Giải. Áp dụng bất đẳng thức 22 2 3 4 a b ab a b với 2 a x , 2 b y ta được 1 1 f t( ) f ‘ t( ) ++ _ 00 1 3 3 +∞1-1-∞t
11. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 11 24 4 2 2 2 23 4 x y x y x y 22 2 2 29 2 1 4 A x y x y . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 2 4xy x y , ta có 3 2 2x y x y 2 1 2 2 0x y x y x y 1x y (do 2 2 2 2 1 1 0x y x y x y x , y ). Đặt 2 2 t x y 2 2 1 2 2 9 2 1 4 x y t A f t t t . Xét hàm 29 2 1 4 f t t t , 1 2 t . Ta có 9 ‘ 2 0 2 f t t 1 2 t f t đồng biến trên 1 ; 2 1 9 2 16 f t f 1 2 t . Như vậy 9 16 S , dấu “” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 1 2 x y x y 1 1 ; ; 2 2 x y hoặc 1 1 ; ; 2 2 x y . Vậy 9 min 16 S , đạt được 1 1 ; ; 2 2 x y hoặc 1 1 ; ; 2 2 x y . Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện 0x y z và 2 2 2 1x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5 P x y z . Giải. Từ 0x y z suy ra z x y , thay z x y vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được 2 2 2 2 22 2 1 3 1 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y x y x y Do đó, nếu đặt t x y thì ta có 23 1 2 t 6 6 ; 3 3 t , 2 2 1 2 t xy . Biến đổi P 55 5 x y x y 53 3 2 2 2 2 x y x y x y x y x y 3 2 52 2 3 2x y xy x y x y xy x y x y x y
12. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 12 22 2 2 3 2 52 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2 t t t t t t t t 35 2 4 t t . Xét hàm 35 2 4 f t t t , với 6 6 ; 3 3 t . Ta có 25 ‘ 6 1 4 f t t có hai nghiệm là 6 6 6 ; 6 3 3 t . Ta có 6 5 6 3 36 f , 6 5 6 6 36 f , 6 5 6 6 36 f , 6 5 6 3 36 f . Vậy 5 6 min 36 P , đạt được chẳng hạn khi 6 6 x y , 6 3 z . Ví dụ 8. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S x y z x y y z z x . Giải. Đặt 3t xyz . Ta có 0t và 3 3 3 2 x y z xyz 1 2 t . Suy ra 1 0; 2 t . Lại có 2 2 2 2 2 2 23 3 3x y z x y z t , 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 x y y z z x x y y z z x xyz t 2 3 1 3S t t . Xét hàm 2 3 1 f t t t với 1 0; 2 t . Ta có 5 4 4 3 2 3 ‘ 2 0 t f t t t t 1 0; 2 t , suy ra f nghịch biến trên 1 0; 2 . Vậy 1 99 min 3 2 4 S f , đạt được khi và chỉ khi
13. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 13 3 1 2 x y z xyz 1 2 x y z . Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x , y , 0z thỏa mãn 1x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z . 1 Giải. Xét 1 ;a x x r , 1 ;b y y r , 1 ;c z z r , ta có 1 1 1 ;a b c x y z x y z r r r . Từ a b c a b c r r r r r r suy ra 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 33x y z xyz , 3 1 1 1 1 3 x y z xyz . Do đó 9 1 9VT t t , với 2 3t xyz . Ta có 2 1 0 3 9 x y z t . Xét 9 9f t t t với 1 0; 9 t . Ta có 2 9 ‘ 9 0f t t 1 0; 9 t f t nghịch biến trên 1 0; 9 . 1 82 9 f t f 1 ( ) 82VT f t (ĐPCM).
14. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 14 Cách 2. 2 2 1 1 1 x y z x y z 2 2 21 1 1 81 80x y z x y z x y z 2 2 21 1 1 2 81 80x y z x y z x y z 21 1 1 18 80x y z x y z x y z 18.9 -80 82 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. C. Bài tập Bài 1. [ĐHD09] Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 4 3 4 3 25S x y y x xy . Bài 2. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x . Bài 3. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 2 2 1 1 1S x y x y . Bài 4. Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 6 2 2 1 x y S x y x y . Bài 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 4 4 2 2 S x y x y . Bài 6. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1 1S x y . Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn 2 2 4 4 2 32x y xy . Tìm GTNN của 3 3 3 1 2A x y xy x y . Bài 8. [ĐHA06] Cho 0x , 0y thỏa mãn 2 2 x y xy x y xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A x y . Bài 9. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y . Bài 10. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
15. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ 15 2 2 2S x xy y . Bài 11. Cho x , y thỏa mãn 2 2 2 1x y xy . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 S x y . Bài 12. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 S x y z x y z . Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , 0c thỏa mãn 1a b c . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b a . Bài 14. Cho x , y , 0z thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 5 5 5 2 2 2 x y x x y z P y z z x x y y z x .
Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số Cần Nắm Rõ
Bộ môn Toán Giải tích lớp 12 các em học sinh sẽ được học dạng bài tập: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. chúng tôi sẽ tổng hợp phương pháp dạng bài tập này. I. Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
Cho hàm số (y =) (f(x)) xác định trên tập D.
– M là GTLN của (y = f(x)) trên tập D khi: (left{begin{matrix}f(x) leqslant M & \ exists x_{o, f(x_{o}) = M} & end{matrix}right.)
– m là GTNN của (y = f(x)) trên tập D khi: (left{begin{matrix}m leqslant f(x),forall x_{o} in D & \ forall x_{o} in D, f(x_{o}) = m & end{matrix}right.)
II. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số (f(x)) liên tục trên một đoạn (begin{bmatrix}a; bend{bmatrix}).
– Tìm các điểm (x_{i} in (a; b)) (i = 1, 2,…,n) mà tại đó (f'(x_{i}) = 0 ) hoặc (f'(x_{i}) ) không xác định.
GTLN, GTNN trong các giá trị trên là GTLN, GTNN của hàm số (f) trên (begin{bmatrix}a, bend{bmatrix}).
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y = f(x)) xác định trên tập D, tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, sau đó căn cứ bảng biến thiên của hàm số và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
Quy tắc: Tìm GTLN, GTNN của hàm số (y = f(x)) trên khoảng ((a, b)) .
– Tính (f'(x)). Tìm các điểm mà tại đó (f'(x)) = 0 hoặc (f'(x)) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa tham số m
Hàm số có chứa tham số m và thỏa mãn điều kiện về GTLN, GTNN trên một đoạn.
Các bước thực hiện:
– Bước 1: Dùng lệnh MODE 7 để lập bảng giá trị trên máy tính Casio.
– Bước 2: Nhập f(x) = …
Start?a= (rightarrow ) End?b= (rightarrow ) Step? (alpha ) = ?
((alpha ) chọn tùy thuộc vào đề bài)
Ta nhận được bảng giá trị, quan sát sẽ thấy GTLN hiển thị là max, GTNN hiển thị là min.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số (y = x^{3} + 3x^{2} ) trên đoạn (begin{bmatrix}-1, 3end{bmatrix}).
Nhập MODE 7, nhập (f(x) = x^3 + 3x^2), Start?-1 = End? 3 = Step? 0.5 =
Ta được bảng giá trị và ta thấy f(3) = 54 là GTLN, f(0) = 0 là GTNN.
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Các bước tương tự như dạng 1 nhưng cần chú ý đề để chọn GTLN, GTNN. Cần xem kỹ x có thuộc miền trong đề bài không.
Lý Thuyết Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
1. Định nghĩa
Cho hàm số (y=f(x)) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của (f(x)) trên D nếu: (left{begin{matrix} f(x)leq M, forall xin D\ exists x_0, f(x_0)=M end{matrix}right.).
m được gọi là GTNN của (f(x)) trên D nếu: (left{begin{matrix} mleq f(x), forall xin D\ exists x_0in D, f(x_0)=m end{matrix}right.).
2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=f(x)) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số (f(x)) liên tục trên một đoạn ([a;b].)
Tìm các điểm (x_iin (a ; b)) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó (f'(x_i)=0) hoặc (f'(x_i)) không xác định.
Tính (f(x),f(b),f(x_i)) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó : $mathop {max }limits_{x in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$ ; $mathop {min }limits_{x in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$
Trả lời câu hỏi trong bài học SGK
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 20: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x 2 trên đoạn [-3; 0];
b) y = (x + 1)/(x – 1) trên đoạn [3; 5].
Lời giải:
a) y’ = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].
Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.
b) y’ = (-2)/(x-1) 2 < 0 trên đoạn [3; 5]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3; 5].
Khi đó trên đoạn [-3,5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất = 1.5.
Lời giải:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2. Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3. Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 23: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = (-1)/(1 + x 2 ).
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.
Lời giải:
1.TXĐ: D = R.
2. y’ = 2x/(1 + x 2) 2 . Cho y’ = 0 thì x = 0.
3. Bảng biến thiên:
Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Biểu Thức
Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) qua một số bài tập minh họa cụ thể.
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
– Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A 2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).
⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1
– Kết luận: A min = -4 khi và chỉ khi x = -1.
⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3
– Kết luận: A max = 4 khi và chỉ khi x = 3.
– Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x 2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.
– Vì (x + 1) 2 ≥ 0 nên (x + 1) 2 + 4 ≥ 4
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
– Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
– Dấu “=” xảy ra khi A = 0.
° Lời giải:
– Điều kiện: x≥0
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
– Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
Vậy A max = 5 ⇔ x = 1
Vậy A min = -3 ⇔ x = 9
– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).
– Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.
– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.
Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt.
Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số trên website Tvzoneplus.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!