Top 3 # Khái Niệm Về Khối Đa Diện Thầy Nguyễn Quốc Chí Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 3/2023 # Top Trend

I. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn tính chất :

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện . Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự

II. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.

Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện ấy được gọi là

điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài

được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.

III. Hai đa diện bằng nhau

1. Phép dời hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

2. Một số phép dời hình thường gặp

a) Phép tịnh tiến theo vectơ , là phép biến hình biến điểm thành

sao cho = . (h.1.1).

c) Phép đối xứng tâm O , là phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến điểm khác thành

Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) và biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt

tương ứng của (H’).

Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và , hay có thể lắp

ghép được hai khối đa diện và với nhau để được khối đa diện .

1. Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) ((H)) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện ((H)). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện ((H)).

2. Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện ((H)) được gọi là khối đa diện ((H)).

3. Mỗi đa diện ((H)) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của ((H)). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của ((H)).Khối đa diện ((H)) là hợp của hình đa diện ((H)) và miền trong của nó.

4. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm (M) với điểm (M’) xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

– Phép dời hình tịnh tiến theo vector (vec v), là phép biến hình biến điểm (M) thành (M’) sao cho (vec{MM’}=vec v).

– Phép đối xứng qua mặt phẳng ((P)), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc ((P)) thành chính nó, biến điểm (M) không thuộc ((P)) thành điểm (M’) sao cho ((P)) là mặt phẳng trung trực của (MM’).Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ((P)) biến hình ((H)) thành chính nó thì ((P)) được gọi là mặt phẳng đối xứng của ((H)).

– Phép đối xứng tâm (O), là phép biến hình biến điểm (O) thành chính nó, biến điếm (M) khác (O) thành điểm (M’) sao cho (O) là trung điểm của (MM’).

Nếu phép đối xứng tâm (O) biến hình ((H)) thành chính nó thì (O) được gọi là tâm đối xứng của ((H)).

– Phép đối xứng qua đường thẳng (d), là phép biến hình mọi điểm thuộc (d) thành chính nó, biến điểm (M) không thuộc (d) thành điểm (M’) sao cho (d) là trung trực của (MM’). Phép đối xứng qua đường thẳng (d) còn được gọi là phép đối xứng qua trục (d).Nếu phép đối xứng qua đường thẳng (d) biến hình ((H)) thành chính nó thì (d) được gọi là trục đối xứng của ((H)).

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

5. Nếu khối đa diện ((H)) là hợp của hai khối đa diện ((H_{1}),(H_{2})), sao cho ((H_{1})) và ((H_{2})) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện ((H)) thành hai khối đa diện ((H_{1})) và ((H_{2})), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện ((H_{1})) và ((H_{2})) với nhau để được khối đa diện ((H)).

6. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

7. Kiến thức bổ sungPhép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.

a) Phép vị tự tâm (O), tỉ số (k) ((kneq0)) là phép biến hình biến điểm (M) thành điểm (M’) sao cho (vec{OM’}=kvec{OM})

b) Hình ((H)) được gọi là đồng dạng với hình ((H’)) nếu có một phép vị tự biến ((H)) thành ((H_{1}))và((H_{1})) bằng ((H’)).

Lý thuyết khái niệm về khối đa diện

Khái niệm về khối đa diện

1. Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện . Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện .

3. Mỗi đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của . Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của . Khối đa diện là hợp của hình đa diện và miền trong của nó.

4. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện. a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm với điểm xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

Bài 1 trang 12 sgk hình học 12

Bài 2 trang 12 sgk hình học 12

Bài 3 trang 12 sgk hình học 12

Bài 3 trang 12 sách sgk hình học 12

Bài 4 trang 12 sách sgk hình học 12

Bài 4 trang 12 sgk hình học 12

Bài 1.1 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12′

Bài 1.2 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 1.3 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chia hình chóp tứ giác đều thành tám hình chóp bằng nhau.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hai đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau.

Bài 1.4 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chia một khối tứ diện đều thành bốn tứ diện bằng nhau.

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó dễ thấy các tứ diện GABC, GBCD, GCDA, GDAB bằng nhau.

Chia một khối tứ diện đều thành bốn tứ diện bằng nhau.

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó dễ thấy các tứ diện GABC, GBCD, GCDA, GDAB bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Gọi M 1 là một mặt của hình đa diện (H). Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của M 1. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi M 2 là mặt khác với M1 và có chung cạnh AB với M 1. Khi đó M 2 còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B. Nếu thì M 1 và M 2 có hai cạnh chung AB và BC , điều này vô lý. Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A, B, C, D.

Hướng dẫn làm bài: Hướng dẫn làm bài: Hướng dẫn làm bài:

Hình đa diện gồm hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

Điều kiện 1: Với hai đa giác bất kỳ chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau: Không có điểm chung; Có một đỉnh chung; Có 1 cạnh chung. Có nghĩa là hình có 2 đa giác mà không thuộc 3 trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong ba trường hợp trên đều không thỏa mãn.

Điều kiện 2: Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Nghĩa là có 1 cạnh của đa giác không là cạnh chung của 2 đa giác hoặc là cạnh chung của 3 đa giác trở lên đều vi phạm.

Các hình đa diện thường gặp mà chúng ta đã biết từ lớp 11 như: Hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt, hình hộp, hình lập phương…

Mỗi hình đa diện chia không gian thành miền trong và miền ngoài. Hình đa diện và miền trong của nó tạo thành khối đa diện. Hay nói cách khác mỗi hình đa diện có 1 khối đa diện tương tương ứng. Ví dụ khối tứ diện, khối chóp, khối lăng trụ, khối chóp cụt, khối hộp, khối lập phương… là các khối đa diện.

Khối đa diện được phân chia làm hai loại: Khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi. Tuy nhiên trong chương trình THPT, chúng ta chỉ nghiên cứu khối đa diện lồi.

Khối đa diện lồi là khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ thuộc khối đa diện thì nằm hoàn toàn trên khối đa diện đó.

Ví dụ: Khối chóp, khối lăng trụ là các khối đa diện lồi.

III. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU LÀ GÌ

Trong số các khối đa diện lồi, chúng ta có 1 loại khối đa diện đặc biệt. Đó là khối đa diện đều.

Khối đa diện đều là khối đa diện thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Mỗi mặt là đa giác đều p cạnh.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt.

Khối đa diện như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. Và người ta cũng chứng minh được chỉ có đúng 5 loại khối đa diện đều (lồi).